Różności i nowinki technologia

Matematycy donoszą o nowym odkryciu dotyczącym dwunastościanu

Matematycy spędzili ponad 2000 lat analizowało strukturę pięciu brył platońskich – czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwudziestościanu i dwunastościanu – ale wciąż wiele o nich nie wiemy.

Teraz trójka matematyków rozwiązała jedno z najbardziej podstawowych pytań dotyczących dwunastościanu.

Oryginalna historia przedrukowana za zgodą Quanta Magazine, niezależna od redakcji publikacja Fundacji Simonsa, której misją jest zwiększanie zrozumienia nauki przez społeczeństwo poprzez omawianie postępów badawczych i trendów w matematyce oraz naukach fizycznych i przyrodniczych.

Przypuśćmy, że stoisz w jednym z rogów platońskiej bryły. Czy jest jakaś prosta ścieżka, którą możesz wybrać, która w końcu wróci do punktu wyjścia bez przechodzenia przez żadne inne zakręty? W przypadku czterech brył platońskich zbudowanych z kwadratów lub trójkątów równobocznych – sześcianu, czworościanu, ośmiościanu i dwudziestościanu – matematycy doszli ostatnio do wniosku, że odpowiedź brzmi „nie”. Każda prosta ścieżka zaczynająca się od rogu albo uderzy w inny zakręt, albo zawinie się na zawsze bez powrotu do domu. Jednak w przypadku dwunastościanu, który składa się z 12 pięciokątów, matematycy nie wiedzieli, czego się spodziewać.

Teraz Jayadev Athreya, David Aulicino i Patrick Hooper wykazali, że na dwunastościanie faktycznie istnieje nieskończona liczba takich ścieżek. Ich artykuł, opublikowany w maju w Matematyka eksperymentalnapokazuje, że ścieżki te można podzielić na 31 rodzin naturalnych.

Rozwiązanie wymagało nowoczesnych technik i algorytmów komputerowych. “Dwadzieścia lat temu, [this question] był absolutnie poza zasięgiem; 10 lat temu napisanie całego niezbędnego oprogramowania wymagałoby ogromnego wysiłku, więc dopiero teraz wszystkie czynniki połączyły się ”- napisał w e-mailu Anton Zorich z Instytutu Matematyki Jussieu w Paryżu.

Projekt rozpoczął się w 2016 roku, kiedy Athreya z University of Washington i Aulicino z Brooklyn College zaczęli bawić się kolekcją wycinanek z kart, które składają się w platońskie bryły. Kiedy budowali różne bryły, Aulicino przyszło do głowy, że zbiór ostatnich badań nad płaską geometrią może być tym, czego potrzebują, aby zrozumieć proste ścieżki na dwunastościanie. „Dosłownie składaliśmy te rzeczy w jedną całość” – powiedziała Athreya. „Więc to był rodzaj bezczynnej eksploracji, która spotyka okazję”.

Wraz z Hooperem z City College of New York naukowcy wymyślili, jak sklasyfikować wszystkie proste ścieżki prowadzące z jednego rogu z powrotem do siebie, które omijają inne zakręty.

Ich analiza jest „eleganckim rozwiązaniem” – powiedział Howard Masur z University of Chicago. „To jedna z tych rzeczy, w których mogę bez wahania powiedzieć:„ O Boże, szkoda, że ​​to nie zrobiłem! ”

Ukryte symetrie

Chociaż matematycy spekulowali na temat prostych ścieżek na dwunastościanie od ponad wieku, zainteresowanie tym tematem odrodziło się w ostatnich latach po zdobyciu wiedzy na temat „powierzchni translacji”. Są to powierzchnie utworzone przez sklejenie równoległych boków wielokąta i okazały się przydatne do badania szerokiego zakresu tematów obejmujących proste ścieżki na kształtach z narożnikami, od trajektorii stołu bilardowego po pytanie, kiedy pojedyncze światło może oświetlić całą pokój lustrzany.

We wszystkich tych problemach podstawową ideą jest rozwinięcie kształtu w sposób, który uprości ścieżki, których się uczysz. Aby zrozumieć proste ścieżki na platońskiej bryle, możesz zacząć od przecięcia wystarczająco otwartych krawędzi, aby bryła leżała płasko, tworząc to, co matematycy nazywają siecią. Na przykład jedna siatka na sześcian to kształt litery T składający się z sześciu kwadratów.

Papierowy dwunastościan skonstruowany w 2018 roku przez Davida Aulicino i Jayadeva Athreya, aby pokazać, że proste ścieżki od wierzchołka z powrotem do siebie przy jednoczesnym unikaniu innych wierzchołków są w rzeczywistości możliwe.: Patrick Hooper

Wyobraź sobie, że spłaszczyliśmy dwunastościan i teraz idziemy wzdłuż tego płaskiego kształtu w wybranym kierunku. W końcu dotrzemy do krawędzi sieci, w którym to momencie nasza ścieżka przeskoczy do innego pięciokąta (którykolwiek z nich był przyklejony do naszego obecnego pięciokąta, zanim otworzymy dwunastościan). Za każdym razem, gdy ścieżka przeskakuje, również obraca się o wielokrotność 36 stopni.

Aby uniknąć tego całego przeskakiwania i obracania się, kiedy uderzymy w krawędź sieci, możemy zamiast tego przykleić nową, obróconą kopię sieci i kontynuować prosto w nią. Dodaliśmy trochę nadmiarowości: teraz mamy dwa różne pięciokąty reprezentujące każdy pięciokąt na oryginalnym dwunastościanie. Więc skomplikowaliśmy nasz świat, ale nasza ścieżka stała się prostsza. Możemy dodawać nową sieć za każdym razem, gdy potrzebujemy wyjść poza krawędź naszego świata.

Zostaw komentarz

Maciek Luboński
Z wykształcenia jestem kucharzem , ale to nie przeszkadza mi pisać dla Was tekstów z wielu ciekawych dziedzin , których sam jestem fanem.Piszę dużo i często nie na tak jak trzeba , ale co z tego skoro tak naprawdę liczy się pasja.

Najlepsze recenzje

Video

gallery

Facebook