Różności i nowinki technologia

Matematycy otwierają nowy front w kwestii starożytnych liczb

Jak wysoko uczeń szkoły w połowie lat 90. Pace Nielsen napotkał matematyczne pytanie, z którym zmaga się do dziś. Ale nie czuje się źle: problem, który go urzekł, zwany domniemaniem nieparzystej liczby doskonałej, istnieje od ponad 2000 lat, co czyni go jednym z najstarszych nierozwiązanych problemów matematycznych.

Oryginalna historia przedrukowana za zgodą Quanta Magazine, niezależna od redakcji publikacja Fundacji Simonsa, której misją jest pogłębianie społecznego zrozumienia nauki poprzez omawianie postępów badawczych i trendów w matematyce oraz naukach fizycznych i przyrodniczych.

Część długotrwałego uroku tego problemu wynika z prostoty podstawowej koncepcji: liczba jest doskonała, jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, n, którego dzielniki sumują się dokładnie do dwukrotności samej liczby, 2n. Pierwszym i najprostszym przykładem jest 6, ponieważ jego dzielniki – 1, 2, 3 i 6 – sumują się do 12 lub 2 razy 6. Następnie pojawia się 28, którego dzielniki 1, 2, 4, 7, 14 i 28 dodaj do 56. Kolejne przykłady to 496 i 8128.

Leonhard Euler sformalizował tę definicję w XVIII wieku, wprowadzając swoją funkcję sigma (σ), która sumuje dzielniki liczby. Zatem dla liczb doskonałych σ (n) = 2n.

Leonhard Euler ustalił wiele formalnych reguł rządzących tym, jak matematycy myślą o liczbach doskonałych i manipulują nimi.Ilustracja: Jacob Emanuel Handmann

Ale Pitagoras był świadomy idealnych liczb już w 500 rpne, a dwa wieki później Euclid opracował wzór na generowanie liczb nawet doskonałych. Pokazał, że jeśli p i 2p – 1 to liczby pierwsze (których jedynymi dzielnikami są 1 i siebie), a następnie 2p−1 × (2p – 1) to liczba idealna. Na przykład, jeśli p wynosi 2, formuła daje 21 × (22 – 1) lub 6, a jeśli p wynosi 3, otrzymasz 22 × (23 – 1) lub 28 – pierwsze dwie liczby doskonałe. Euler udowodnił 2000 lat później, że ta formuła faktycznie generuje każdą liczbę parzystą idealną, chociaż wciąż nie wiadomo, czy zbiór liczb parzystych jest skończony czy nieskończony.

Nielsena, obecnie profesora na Uniwersytecie Brighama Younga (BYU), usidliło powiązane pytanie: Czy istnieją liczby nieparzyste doskonałe (OPN)? Grecki matematyk Nicomachus około 100 roku ne ogłosił, że wszystkie liczby idealne muszą być parzyste, ale nikt nigdy tego nie udowodnił.

Podobnie jak wielu jego rówieśników z XXI wieku, Nielsen uważa, że ​​prawdopodobnie nie ma żadnych OPN. I podobnie jak jego rówieśnicy nie wierzy, że dowód jest w zasięgu ręki. Ale w czerwcu ubiegłego roku znalazł nowy sposób podejścia do problemu, który może prowadzić do większych postępów. Obejmuje to, co jest najbliższe odkrytym OPN.

Napinająca się sieć

Nielsen po raz pierwszy dowiedział się o liczbach doskonałych podczas zawodów matematycznych w liceum. Zagłębił się w literaturę, natrafiając na artykuł z 1974 roku autorstwa Carla Pomerance’a, matematyka obecnie w Dartmouth College, który udowodnił, że każda OPN musi mieć co najmniej siedem różnych czynników głównych.

„Widząc, że można poczynić postępy w tym problemie, miałem nadzieję, w mojej naiwności, że być może uda mi się coś zrobić” – powiedział Nielsen. „To zmotywowało mnie do studiowania teorii liczb na studiach i próbowania postępu”. Jego pierwszy artykuł na temat OPN, opublikowany w 2003 roku, nałożył dalsze ograniczenia na te hipotetyczne liczby. Pokazał nie tylko, że liczba OPN z k różne czynniki pierwsze są skończone, jak ustalił Leonard Dickson w 1913 roku, ale wielkość liczby musi być mniejsza niż 24k.

Nie były to ani pierwsze, ani ostatnie ograniczenia ustanowione dla hipotetycznych OPN. Na przykład w 1888 roku James Sylvester udowodnił, że żadna OPN nie może być podzielna przez 105. W 1960 roku Karl K. Norton udowodnił, że jeśli OPN nie jest podzielna przez 3, 5 lub 7, to musi mieć co najmniej 27 czynników pierwszych. Paul Jenkins, również z BYU, udowodnił w 2003 roku, że największy czynnik główny OPN musi przekraczać 10 000 000. Pascal Ochem i Michaël Rao ustalili ostatnio, że jakikolwiek OPN musi być większy niż 101500 (a później przesunął tę liczbę do 102000). Ze swojej strony Nielsen wykazał w 2015 roku, że OPN musi mieć co najmniej 10 różnych czynników pierwszych.

Pace Nielsen, matematyk z Uniwersytetu Brighama Younga, od dawna studiuje nieparzyste liczby idealne. Jego najnowsza praca sugeruje nową ścieżkę naprzód w określaniu, czy naprawdę istnieją.: Alyssa Lyman / BYU

Nawet w XIX wieku istniały na tyle ograniczenia, że ​​Sylvester doszedł do wniosku, że „istnienie [an odd perfect number]- że tak powiem, ucieczka ze złożonej sieci warunków, które otaczają ją ze wszystkich stron – nie byłaby cudem ”. Po ponad stu latach podobnych zmian istnienie OPN wydaje się jeszcze bardziej wątpliwe.

Zostaw komentarz

Maciek Luboński
Z wykształcenia jestem kucharzem , ale to nie przeszkadza mi pisać dla Was tekstów z wielu ciekawych dziedzin , których sam jestem fanem.Piszę dużo i często nie na tak jak trzeba , ale co z tego skoro tak naprawdę liczy się pasja.

Najlepsze recenzje

Video

gallery

Facebook